当您的私家车牌照丢失时，需要按照以下步骤进行补办：
1. 首先，您需要在当地的报纸上发布遗失声明。这可以证明您已经通知了公众您的牌照已丢失，并可能防止他人使用您的牌照进行非法活动。
2. 准备相关材料。这些材料通常包括以下材料：车主身份证明、车主的机动车驾驶证、车辆登记证书、车辆的购车发票等。具体所需材料请根据当地车管所的要求为准。
3. 前往车管所申请补办。填写《机动车牌证申请表》，并提交准备好的相关材料。工作人员会对您的车辆进行查验，确认车辆无误后，会为您办理牌照补办手续。
4. 缴纳相关费用。牌照补办可能需要支付一定的工本费。请向车管所咨询具体的费用标准。
5. 领取新的牌照。在办理完所有手续后，您将收到新的机动车牌照。请确保在规定的期限内安装好新的牌照。
请注意，以上流程仅供参考，具体操作请根据您所在地区的政策和规定进行调整。如有疑问，请咨询当地的车管所。