报废车辆拆解公司的资质变更需要遵循以下步骤：
1. 准备相关材料：包括公司营业执照、组织机构代码证、税务登记证、法定代表人身份证明、原《报废汽车回收经营许可证》等。
2. 向工商行政管理部门申请：携带上述材料，前往当地工商行政管理部门提交注销或变更申请。工商部门会对提交的材料进行审核，审核通过后会颁发新的营业执照。
3. 向环保部门申请：根据当地政策，可能需要向当地环保部门提交申请，以获取新的环保许可证。
4. 向交通管理部门申请：携带相关材料，前往当地交通管理部门提交报废汽车回收经营许可证变更申请。交通管理部门会对提交的材料进行审核，审核通过后会颁发新的报废汽车回收经营许可证。
5. 完成税务变更：携带新的营业执照和报废汽车回收经营许可证，前往税务部门办理税务登记证变更手续。
6. 更新组织机构代码证：携带新的营业执照和报废汽车回收经营许可证，前往质量技术监督部门办理组织机构代码证变更手续。
7. 公告：在当地的官方报纸上发布公司资质变更的公告，以便公众了解。
8. 更换公司招牌：将新的营业执照、报废汽车回收经营许可证等信息更换到公司的招牌上，以便公众识别。
整个过程中，可能需要多次往返于各个政府部门，因此建议提前准备齐全所需材料，并耐心等待各部门的审批过程。