在手机上申请天津市的随机车牌号码，需要下载并安装“天津公安”APP。以下是详细的步骤：
1. 首先，从应用商店（如Google Play或Apple App Store）搜索并下载\"天津公安\"应用。
2. 安装完成后，打开应用。首次使用，可能需要注册账号并进行登录。
3. 在主界面中，点击“机动车选号”选项。
4. 阅读并同意相关的协议和条款。
5. 填写车辆的相关信息，包括车辆识别代号/车架号、发动机号等。
6. 上传车辆的购车发票、行驶证照片等相关材料。
7. 确认信息无误后，点击“提交”按钮。
8. 提交后，系统会自动完成审核。审核通过后，你会收到一条包含选号验证码的短信。
9. 返回“天津公安”APP，输入验证码，然后点击“获取随机选号”或者“自定义选号”进行选号。
10. 按照提示完成选号操作，最后确认所选号码并完成相关手续即可。
注意：以上流程可能会根据实际情况有所变动，请参考官方发布的最新指南。