1. 立即报警：发现交通事故肇事司机逃逸，首先要做的是拨打报警电话报警。向警方提供尽可能详细的信息，如肇事车辆的车牌号、车型、车色等特征，以及事故发生的时间、地点等。
2. 寻找目击者：如果有目击者，尽量获取他们的联系方式和身份信息，以便警方调查。同时，也可以尝试在附近寻找可能的监控录像，以获取更多线索。
3. 保留证据：如果可能，拍照或录像留下肇事车辆的照片或视频，以及事故现场的情况。这些证据可能对后续调查有所帮助。
4. 保持联系：与警方保持联系，了解案件进展。如果需要，可以协助警方提供更多信息或证据。
5. 寻求法律援助：如果因肇事司机逃逸而遭受损失，可以寻求律师的帮助，了解自己的权益如何得到保障。
6. 关注案件进展：通过媒体或警方公告等方式，关注案件的调查进展和处理结果。
需要注意的是，不同地区的具体处理方式可能会有所不同，但以上建议适用于大多数情况。在处理交通事故肇事司机逃逸问题时，务必保持冷静，积极配合警方工作，争取早日找到肇事者并维护自己的合法权益。