乘客在乘坐私家车时受伤，通常可以依据《侵权责任法》和《合同法》等相关法律法规进行索赔。具体步骤如下：
1. 保留证据：首先需要收集和保存与事故相关的所有证据，包括照片、视频、医疗记录等，以便于后续的索赔过程。
2. 了解责任归属：根据事故的具体情况，判断司机是否有过错，例如酒驾、超速、未保持安全行车距离等行为。如果司机存在过错，那么他需要承担赔偿责任；如果司机没有过错，那么乘客可能需要自行承担部分或全部损失。
3. 协商解决：在了解责任归属后，可以与司机进行协商，看是否能达成一个双方都认可的赔偿方案。如果协商无果，可以选择诉讼途径。
4. 提起诉讼：如果协商无果，可以向法院提起诉讼，要求司机承担相应的赔偿责任。在诉讼过程中，需要提供充分的证据证明自己的损失以及司机的过错。
5. 获得赔偿：根据法院判决结果，乘客可以获得相应的医疗费、误工费、交通费等赔偿。
需要注意的是，不同的国家和地区对于此类事故的赔偿标准和规定可能有所不同，因此在实际操作中还需参考当地的法律法规。