当n为正整数时,n!大于n^n。
证明:我们可以使用数学归纳法来证明这个结论。首先,当n=1时,显然有1! > 1^1(即1!大于1的1次方)。现在假设对于所有小于n的正整数k,都有k! > k^k。我们考虑n!和n^n之间的关系。
根据二项式定理,我们有:
n! = n(n-1)(n-2)... * 1 n^n = n * (n-1) * (n-2) * ... * 1 将这两个表达式相减,得到:
n! - n^n = (n-1)(n-2)(n-3)... * 1 - n * (n-1) * (n-2) * ... * 1 由于我们知道n-1! > (n-1)^(n-1),所以:
(n-1)(n-2)(n-3)... * 1 > n * (n-1) * (n-2) * ... * 1 这意味着n! > n^n。因此,当n为正整数时,n!确实大于n^n。